y 3 xy 2 x 2y 6 0

题中已经给出函数y=f(x)由后面的方程确定,并不是说函数y是方程中的y,两个y所表达含义是不同的,希望你能迷过来。你的y=-2x是通过对原方程两边同时对x求导所得,并不是代表y(x).3y²y+y²+2xyy+2xy+x²y=0
y=-(y²+2xy)/(3y²+2xy+x²)
y=0得y=0或y=-2x
y=0代入方程得6=0,不符
将y=-2x代入方程得-8x³+4x³-2x³+6=0得x=1,故极值y=-2y^3+xy^2+x^2y+6=0,①
微分得3y^2dy+y^2dx+2xydy+2xydx+x^2dy=0,
(3y^2+2xy+x^2)dy=-(y^2+2xy)dx,
∴dy/dx=-(2xy+y^2)/(x^2+2xy+3y^2),
由dy/dx=0,得y=0,或y=-2x,
把y=0代入①,得6=0,矛盾。
把y=-2x代入①,-8x^3+4x^3-2x^3+6=0,6=6x^3,x^3=1,x=1,
∴y=-2,为所求。
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